Question

修建一个面积为平方米的矩形场地的围墙，要求在前面墙的正中间留一个宽度为2米的出入口，后面墙长度不超过20米，已知后面墙的造价为每米45元，其它墙的造价为每米180元，设后面墙长度为x米，修建此矩形场地围墙的总费用为元.
（1）求的表达式；
（2）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.

Answer 1

（1）；（2）若，最小总费用为（元）.，则当时，最小总费用为（元）．  .

试题分析：（1）根据条件可以将所有墙的长度都用含的代数式表示出来，再由墙的造价，即可得到，又由条件后墙长度不超过20米及前墙留一个宽度为2米的出入口，可知；（2）由（1）中所求表达式可知，要求最小费用，即求，而是一个“对钩”函数，需对的取值范围分类讨论：①，②，从而利用“对钩”函数的单调性求的最小值.
（1）画出如下示意图，由矩形的面积为S，可知与相邻的边长为，∴总费用，
显然，∴；

（2），则，可以证明在递减，在递增.
若，即，则当时，最小总费用为（元）.
若，即，则当时，
最小总费用为（元）．