Question

设椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），抛物线C₂：x²+by=b²．
（1）若C₂经过C₁的两个焦点，求C₁的离心率；
（2）设A（0，b），Q（3

3

，

5

4

b），又M，N为C₁与C₂不在y轴上的两个交点，若△AMN的垂心为B（0，

3

4

b），且△QMN的重心在C₂上，求椭圆C₁和抛物线C₂的方程．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出椭圆的焦点，即有c=b，进而得到a²=b²+c²=2c²，由离心率公式即可得到；
（2）由题设可知M，N关于y轴对称，设M（-x₁，y₁），N（x₁，y₁），（x₁＞0），运用垂心的定义和重心的定义，结合向量垂直的条件，计算即可得到a，b，进而得到椭圆和抛物线方程．

解答： 解：（1）因为抛物线C₂经过椭圆C₁的两个焦点F₁（-c，0），F₂（c，0），
可得c²=b²．
由a²=b²+c²=2c²，
有c=

2

2

a，所以椭圆C₁的离心率e=

c

a

=

2

2

．
（2）由题设可知M，N关于y轴对称，
设M（-x₁，y₁），N（x₁，y₁），（x₁＞0），
则由△AMN的垂心为B，有

BM

•

AN

=0，
所以x₁x₂+（y₁-

3

4

b）（y₁-b）=0①
由于点N（x₁，y₁）在C₂上，故有x₁²+by₁=b²②
由①②得y₁=-

b

4

，或y₁=b（舍去），
所以x₁=

5

2

b，故M（-

5

2

b，-

b

4

），N（

5

2

b，-

b

4

），
所以△QMN的重心为（

3

，

b

4

），
由重心在C₂上得：3+

b2

4

=b²，
所以b=2，M（-

5

，-

1

2

），N（

5

，-

1

2

），
又因为M，N在C₁上，所以

5

a2

+

1 4

b2

=1，得a²=

16

3

．
所以椭圆C₁的方程为：

x2

16 3

+

y2

4

=1，抛物线C₂的方程为：x²+2y=4．

点评：本题考查椭圆和抛物线的方程和性质，考查三角形的重心和垂心的概念，考查垂直的条件和重心坐标，考查运算能力，属于中档题和易错题．