Question

 设正数数列的前项和为，且对任意的，是和的等差中项．

（1）求数列的通项公式；

    （2）在集合，，且中，是否存在正整数，使得不等式对一切满足的正整数都成立？若存在，则这样的正整数共有多少个？并求出满足条件的最小正整数的值；若不存在，请说明理由；

    （3）请构造一个与数列有关的数列，使得存在，并求出这个极限值．

Answer 1

 解：（1）由题意得，  ①， 

当时，，解得，

当时，有  ②，

①式减去②式得，

于是，，，

因为，所以，

所以数列是首项为，公差为的等差数列，

所以的通项公式为（）．

（2）设存在满足条件的正整数，则，，

，

又，，…，，，，…，，

所以，，…，均满足条件，

它们组成首项为，公差为的等差数列．

设共有个满足条件的正整数，则，解得．

所以，中满足条件的正整数存在，共有个，的最小值为．

（3）设，即，，

则

，其极限存在，且

．

注：（为非零常数），（为非零常数），

（为非零常数，）等都能使存在．