Question

6．已知函数f（x）=xlnx+ax，函数f（x）的图象在点x=1处的切线与直线x+2y-1=0垂直．
（1）求a的值和f（x）的单调区间；
（2）求证：e^x＞f′（x）．

Answer 1

分析 （1）由f′（1）=1+a=2，解得：a=1，利用导数求解单调区间．
（2）要证e^x＞f′（x），即证e^x＞lnx+2，x＞0时，易得e^x＞x+1，即只需证明x＞lnx+1即可

解答 解：（1）f′（x）=lnx+1+a，
f′（1）=1+a=2，解得：a=1，
故f（x）=xlnx+x，f′（x）=lnx+2，
令f′（x）＞0，解得：x＞e^-2，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜e^-2，
故f（x）在（0，e^-2）递减，在（e^-2，+∞）递增；
（2）要证e^x＞f′（x），即证e^x-lnx-2＞0，即证e^x＞lnx+2，
x＞0时，易得e^x＞x+1，即只需证明x+1≥lnx+2即可，
即只需证明x＞lnx+1即可
令h（x）=x-lnx+1，则h′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
令h′（x）=0，得x=1
h（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
故h（x）≥h（1）=0．
即x+1≥lnx+2成立，即e^x＞lnx+2，
∴e^x＞f′（x）．

点评 本题考查了导数的综合应用，构造合适的新函数，放缩法证明函数不等式，属于难题．