Question

设函数f（x）=x³-x²-3．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若函数y=f（x）-m在[-1，2]上有三个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数f′（x），在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可求；
（2）令h（x）=f（x）-m，则h（x）=x³-x²-3-m，h′（x）=3x²-2x=x（3x-2），由（1）可知h（x）的单调性，求得h（x）的极值，由题意可得极值、端点处函数值的符号，解不等式即可；

解答： 解：（1）由f（x）=x³-x²-3，得f′（x）=3x²-2x=3x（x-

2

3

），
当f′（x）＞0时，解得x＜0或x＞

2

3

；当f′（x）＜0时，解得0＜x＜

2

3

．
故函数f（x）的单调递增区间是（-∞，0），（

2

3

，+∞）；单调递减区间是（0，

2

3

）．
（2）令h（x）=f（x）-m，则h（x）=x³-x²-3-m，
∴h′（x）=3x²-2x=x（3x-2），
由（1）知，当函数h（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，

2

3

）上单调递减，在（

2

3

，+∞）上单调递增．
∴函数h（x）在x=0处取得极大值h（0）=-3-m，在x=

2

3

处取得极小值h(

2

3

)=-

85

27

-m，
由函数y=f（x）-m在[-1，2]上有三个零点，
则有：

h(-1)≤0 h(0)＞0 h( 2 3 )＜0 h(2)≥0

，即

-5-m≤0 -3-m＞0 - 85 27 -m＜0 1-m≥0

，解得-

85

27

＜m＜-3，
故实数a的取值范围是（-

85

27

，-3）．

点评：该题考查利用导数研究函数的单调性、极值、函数的零点，考查不等式的求解，考查学生综合运用知识解决问题的能力．