Question

已知向量

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

x

2

，sin

x

2

），且x∈[0，

π

2

]．
（1）求

a

•

b

及|

a

+

b

|；
（2）若f（x）=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|的最小值为-

3

2

，求实数λ的值．

Answer 1

考点：平面向量的综合题

专题：综合题,平面向量及应用

分析：（1）利用向量的数量积公式，结合差角的余弦公式，可求

a

•

b

，利用|

a

+

b

|²=

a

²+

b

²+2

a

•

b

，可求|

a

+

b

|；
（2）f（x）=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|=cosx-4λcos

x

2

=2（cos

x

2

-λ）²-1-2λ²，根据cos

x

2

∈[0，

2

2

]，分类讨论，可得结论．

解答： 解：（1）

a

•

b

=cos

3

2

xcos

x

2

+sin

3

2

xsin

x

2

=cosx，
|

a

+

b

|²=

a

²+

b

²+2

a

•

b

=2+2cosx=4cos²

x

2

∵x∈[0，

π

2

]，
∴cos

x

2

≥0，
∴|

a

+

b

|=2cos

x

2

；
（2）∵f（x）=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|=cosx-4λcos

x

2

=2（cos

x

2

-λ）²-1-2λ²，
∵x∈[0，

π

2

]，∴

x

2

∈[0，

π

4

]，
∴cos

x

2

∈[0，

2

2

]，
当λ＜

2

2

时，当且仅当cos

x

2

=

2

2

时，f（x）取最小值1-

4λ

2

-1=-

3

2

，解得λ=

3 2

8

；    
当

2

2

≤λ≤1时，当且仅当cos

x

2

=λ时，f（x）取最小值-1-2λ2=-

3

2

，解得λ=

1

2

（舍）；  
当λ＞1时，当且仅当cos

x

2

=1时，f（x）取最小值2-4λ-1=-

3

2

，解得λ=

5

8

（舍去），
综上所述，λ=

3 2

8

．

点评：本题考查平面向量的运用，考查差角的余弦公式，考查数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．