Question

8．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{ab}$的取值范围为[2，$\sqrt{5}$）．

Answer 1

分析 设$\frac{b}{a}$=$\frac{c}{b}$=q，q＞0，则b=aq，c=aq²，a+aq＞aq²，aq+aq²＞a，a+aq²＞aq，由此能够求出$\frac{b}{a}$的取值范围，结合对勾函数的单调性，即可得到所求范围，

解答 解：a，b，c成等比数列，
设$\frac{b}{a}$=$\frac{c}{b}$=q，q＞0，
则b=aq，c=aq²，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+aq＞a{q}^{2}}\\{aq+a{q}^{2}＞a}\\{a+a{q}^{2}＞aq}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{{q}^{2}-q-1＜0}\\{{q}^{2}+q-1＞0}\\{{q}^{2}-q+1＞0}\end{array}\right.$，
解得$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$＜q＜$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
则$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{ab}$=$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{q}$+q，
由f（q）=$\frac{1}{q}$+q在（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，1）递减，在（1，$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）递增，
可得f（1）取得最小值2，由f（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）=f（$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）=$\sqrt{5}$，
即有f（q）∈[2，$\sqrt{5}$）．
故答案为：[2，$\sqrt{5}$）．

点评 本题考查数列与函数的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角形三边关系和对勾函数的单调性的灵活运用．