Question

16．已知集合M={（x，y）|$\left\{\begin{array}{l}{y≥-x-2}\\{x-2y+a≤0}\end{array}\right.$}和集合N={（x，y）|y=sinx，x≥0}，若M∩N≠∅，则实数a的最大值为$\sqrt{3}$-$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 作出函数y=sinx（x≥0）的图象，以及不等式组$\left\{\begin{array}{l}{y≥-x-2}\\{x-2y+a≤0}\end{array}\right.$表示的可行域，由直线x-2y+a=0与y=sinx相切时，设切点为（m，sinm），求出导数和直线的斜率，解方程可得切点和此时a的值，由图象可得a的最大值．

解答 解：作出函数y=sinx（x≥0）的图象，
以及不等式组$\left\{\begin{array}{l}{y≥-x-2}\\{x-2y+a≤0}\end{array}\right.$表示的可行域，
当直线x-2y+a=0与y=sinx相切时，设切点为（m，sinm），
即有cosm=$\frac{1}{2}$，解得m=$\frac{π}{3}$，
切点为（$\frac{π}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
可得a=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$-$\frac{π}{3}$，
由题意可得a≤$\sqrt{3}$-$\frac{π}{3}$，即有M∩N≠∅，
可得a的最大值为$\sqrt{3}$-$\frac{π}{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$-$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查不等式组表示的可行域以及集合的几何意义，注意运用数形结合的思想方法，以及导数的几何意义是解题的关键，属于中档题．