Question

17．已知点P（x，y）在不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1＜0，}&{\;}\\{2x-y-2＞0，}&{\;}\\{3x-2y+4＞0}&{\;}\\{\;}&{\;}\end{array}\right.$所表示的平面区域内运动，则$\frac{y}{x}$的取值范围为（1，$\frac{7}{4}$）．

Answer 1

分析 作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的阴影部分．则z=$\frac{y}{x}$，表示直线的斜率，再将点P移动，观察倾斜角的变化即可得到k的最大、最小值，从而得到$\frac{y}{x}$的取值范围．

解答 解：设直线3x-2y+4=0与直线2x-y-2=0交于点A，
可得A（8，14），不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1＜0，}&{\;}\\{2x-y-2＞0，}&{\;}\\{3x-2y+4＞0}&{\;}\\{\;}&{\;}\end{array}\right.$
表示的平面区域如图：
则$\frac{y}{x}$的几何意义是可行域内的P（x，y）
与坐标原点连线的斜率，
由可行域可得k的最大值为：k_OA=$\frac{7}{4}$，k的最小值k=1．
因此，$\frac{y}{x}$的取值范围为（1，$\frac{7}{4}$）
故答案为：（1，$\frac{7}{4}$）．

点评 本题给出二元一次不等式组，求目标函数的取值范围，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题．