Question

13．若偶函数f（x）在区间（-∞，0]上单调递减，且f（3）=0，则不等式（x-1）f（x）＞0的解集是（　　）

• A． （-∞，-1）∪（1，+∞）
• B． （-3，1）∪（3，+∞）
• C． （-∞，-3）∪（3，+∞）
• D． （-3，1]∪（3，+∞）

Answer 1

分析 根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得当x＜-3或x＞3时，f（x）＞0；当-3＜x＜3时，f（x）＜0，则分x＜-3或x＞3与-3＜x＜3两种情况讨论（x-1）f（x）＞0的解集，综合即可得答案．

解答 解：根据题意，偶函数f（x）在区间（-∞，0]上单调递减，则其在[0，+∞）上为增函数，
又由f（3）=0，则f（-3）=0，
则有当x＜-3或x＞3时，f（x）＞0；当-3＜x＜3时，f（x）＜0，
当x＜-3或x＞3时，若（x-1）f（x）＞0，必有x-1＞0，解可得x＞3，
当-3＜x＜3时，若（x-1）f（x）＞0，必有x-1＜0，解可得-3＜x＜1，
综合可得：不等式（x-1）f（x）＞0的解集是（-3，1）∪（3，+∞）；
故选：B．

点评 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意结合函数的奇偶性、单调性，对不等式进行分类讨论．