Question

15．已知整数n≥4，集合M={1，2，3，…，n}的所有含有4个元素的子集记为A₁，A₂，A₃，…，${A_{C_n^4}}$．
设A₁，A₂，A₃，…，${A_{C_n^4}}$中所有元素之和为S_n．
（1）求S₄，S₅，S₆并求出S_n；
（2）证明：S₄+S₅+…+S_n=10C_n+2⁶．

Answer 1

分析 （1）根据新定义，直接计算n=4，5，6集合M的子集．归纳法得出S_n．
（2）利用组合的公式展开各项计算即可得证．

解答 解：（1）由题意：整数n≥4，集合M={1，2，3，…，n}的所有含有4个元素的子集记为A₁，A₂，A₃，…，${A_{C_n^4}}$．
当n=4时，集合M只有1个符合条件的子集，S₄=1+2+3+4=10，
当n=5时，集合M每个元素出现了$C_4^3$次，S₅=$C_4^3（{1+2+3+4+5}）$=60，
当n=6时，集合M每个元素出现了$C_5^3$次，S₆=$C_5^3（{1+2+3+4+5+6}）$=210，
所以，当集合M有n个元素时，每个元素出现了$C_{n-1}^3$，故S_n=$C_{n-1}^3$•$\frac{n（n+1）}{2}$．
（2）证明：由（1）可得S_n=$C_{n-1}^3$•$\frac{n（n+1）}{2}$．
∵S_n=$C_{n-1}^3$•$\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{1}{12}（{n+1}）n（{n-1}）（{n-2}）（{n-3}）=10C_{n+1}^5$，
则S₄+S₅+…+S_n=10（${C}_{5}^{5}{+C}_{6}^{5}{+C}_{7}^{5}{+…+C}_{n+1}^{5}$）=$10C_{n+2}^6$．
得证．

点评 本题考查了新定义的理解和运用能力，还考查了组合的公式的计算化简能力．属于中档题．