Question

10．若f（x）=x-1-alnx，g（x）=$\frac{ex}{e^x}$，a＜0，且对任意x₁，x₂∈[3，4]（x₁≠x₂），|f（x₁）-f（x₂）|＜|$\frac{1}{{g（{x_1}）}}$-$\frac{1}{{g（{x_2}）}}$|的恒成立，则实数a的取值范围为[3-$\frac{2}{3}{e}^{2}$，0）．

Answer 1

分析 由题意可设x₁＜x₂，则$|f（{x_1}）-f（{x_2}）|＜|\frac{1}{{g（{x_1}）}}-\frac{1}{{g（{x_2}）}}|$ 等价于$f（{x_2}）-f（{x_1}）＜\frac{1}{{g（{x_2}）}}-\frac{1}{{g（{x_1}）}}$，即$f（{x_2}）-\frac{1}{{g（{x_2}）}}＜f（{x_1}）-\frac{1}{{g（{x_1}）}}$；
令h（x）=f（x）-$\frac{1}{g（x）}$，转化为h（x）在x∈（3，4）上恒成立问题．

解答 解：易知$f（x），\frac{1}{g（x）}$在x∈[3，4]上均为增函数，
不妨设x₁＜x₂，则$|f（{x_1}）-f（{x_2}）|＜|\frac{1}{{g（{x_1}）}}-\frac{1}{{g（{x_2}）}}|$ 等价于$f（{x_2}）-f（{x_1}）＜\frac{1}{{g（{x_2}）}}-\frac{1}{{g（{x_1}）}}$，
即$f（{x_2}）-\frac{1}{{g（{x_2}）}}＜f（{x_1}）-\frac{1}{{g（{x_1}）}}$；
令$h（x）=f（x）-\frac{1}{g（x）}=x-1-alnx-\frac{e^x}{ex}$，则h（x）在x∈[3，4]为减函数，
则$h{（x）^'}=1-\frac{a}{x}-\frac{{{e^x}（{x-1}）}}{{e{x^2}}}≤0$在x∈（3，4）上恒成立，
∴$a≥x-{e^{x-1}}+\frac{{{e^{x-1}}}}{x}，x∈[{3，4}]$恒成立；
令$u（x）=x-{e^{x-1}}+\frac{{{e^{x-1}}}}{x}，x∈[{3，4}]$，
∴$u'（x）=1-{e^{x-1}}+\frac{{{e^{x-1}}（x-1）}}{x^2}=1-{e^{x-1}}[{{{（{\frac{1}{x}-\frac{1}{2}}）}^2}+\frac{3}{4}}]，x∈[{3，4}]$，
∴u（x）为减函数，∴u（x）在x∈[3，4]的最大值为$u（3）=3-\frac{2}{3}{e^2}$；
综上，实数a的取值范围为[3-$\frac{2}{3}{e}^{2}$，0）．
故答案为：[3-$\frac{2}{3}{e}^{2}$，0）．

点评 本题主要考查函数导数的有关知识，考查灵活运用有关基础知识解决问题的能力．本题属于难题．