Question

12．已知函数$f（x）=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}$．
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性，并加以证明；
（Ⅱ）求方程$f（x）=\frac{1}{2}$的实数解．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用奇函数的定义，即可得出结论；
（Ⅱ）由$f（x）=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}=\frac{1}{2}$，得2^x=3，x=log₂3，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）因为函数f（x）的定义域为R，且$f（-x）=\frac{{{2^{-x}}-1}}{{{2^{-x}}+1}}=\frac{{1-{2^x}}}{{1+{2^x}}}=-f（x）$，
所以f（x）是定义在R上的奇函数；          …（4分）
（Ⅱ）∵$f（x）=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}=\frac{1}{2}$，∴2^x=3，x=log₂3．
所以方程的实数解为x=log₂3．…（8分）

点评 本题考查函数的性质，考查方程思想，比较基础．