Question

2．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆于A．B两点．若AB的中点坐标为（1，-$\frac{\sqrt{5}}{5}$），则E的方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{10}$+y²=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{19}$+$\frac{{y}^{2}}{10}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{27}$+$\frac{{y}^{2}}{18}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{18}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1

Answer 1

分析 设A点坐标的（x₁，y₁），B点坐标为（x₂，y₂），可得$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{2}^{2}}{{b}^{2}}$=1，两式相减得，$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{a}^{2}}$+$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{b}^{2}}$=0，再利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．

解答 解：设A点坐标的（x₁，y₁），B点坐标为（x₂，y₂），
∴$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{2}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
两式相减得，$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{a}^{2}}$+$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{b}^{2}}$=0，
∵x₁+x₂=2，y₁+y₂=$-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{0+\frac{\sqrt{5}}{5}}{3-1}$=$\frac{\sqrt{5}}{10}$．
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{10}$，
又∵c²=a²-b²=10b²-b²=9b²，c²=9，
∴b²=1，a²=10，
即标准方程为$\frac{{x}^{2}}{10}+{y}^{2}$=1．
故选：A

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．