Question

15．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{e}$，|$\overrightarrow{e}$|=1，f（x）=|$\overrightarrow{a}-x\overrightarrow{e}$|是定义在R上的函数，
（1）若f（x）≥f（1）对所有x∈R都成立，求证：（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{e}$）⊥$\overrightarrow{e}$；
（2）求当x取何值时，f（x）取到最小值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的解析式，根据二次函数的性质，令对称轴为x=1即可得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$=1，
从而可得（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{e}$）•$\overrightarrow{e}$=0；
（2）利用二次函数的性质即可得出结论．

解答 解：（1）证明：∵（$\overrightarrow{a}-x\overrightarrow{e}$）²=$\overrightarrow{a}$²-2x$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$+x²，∴f（x）=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}-2x\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}+{x}^{2}}$，
∵f（x）≥f（1）对所有x∈R都成立，
∴当x=1时，x²-2x$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$+${\overrightarrow{a}}^{2}$取得最小值，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$=1，
∴（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{e}$）•$\overrightarrow{e}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$-${\overrightarrow{e}}^{2}$=1-1=0，
∴（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{e}$）⊥$\overrightarrow{e}$．
（2）∵x²-2x$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$+${\overrightarrow{a}}^{2}$=（x-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$）²+${\overrightarrow{a}}^{2}$-（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$）²，
∴当x=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$时，f（x）取得最小值．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，二次函数的性质，属于中档题．