Question

18．已知数列{a_n}，a₁=2，a_n=$\frac{1}{n}$+（1-$\frac{1}{n}$）a_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）证明：数列{na_n}是等差数列；
（2）记b_n=$\frac{1}{{n}^{2}{a}_{n}}$，{b_n}的前n项和S_n，求证S_n＜1．

Answer 1

分析 （1）根据数列的递推公式和等差数列的定义即可证明，
（2）先求出b_n，再裂项求和和放缩即可证明．

解答 证明：（1）∵a_n=$\frac{1}{n}$+（1-$\frac{1}{n}$）a_n-1，
∴na_n=（n-1）a_n-1+1，
∴na_n-（n-1）a_n-1=1，
∵a₁=2，
∴1×a₁=2，
∴数列{na_n}是等差数列是以2为首项，以1为公差的等差数列；
（2）由（1）可得na_n=n+1，
∴a_n=$\frac{n+1}{n}$，
∴b_n=$\frac{1}{{n}^{2}{a}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
那么S_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$＜1

点评 本题考查了数列的通项公式和裂项求和，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题