Question

13．已知直线x=$\frac{b}{2}$与椭圆C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）交于A、B两点，若椭圆C的两个焦点与A、B两点可以构成一个矩形，则椭圆C的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{10}}{4}$

Answer 1

分析 由题意求得A点坐标，将A代入直线方程，利用椭圆的性质，即可求得椭圆的离心率．

解答 解：∵椭圆C的两个焦点与A、B两点可以构成一个矩形，∴AB=2c，即A（$\frac{b}{2}$，c），
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{（\frac{b}{2}）^{2}}{{b}^{2}}=1$⇒3a²⁼4c²，⇒e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故选：C

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查椭圆离心率的求法，考查计算能力，属于中档题