Question

4．设f（x）=x²-2x，x∈[t，t+1]（t∈R），函数f（x）的最小值为g（t）
（1）求g（t）的解析式．
（2）求函数g（t）的值域．

Answer 1

分析 （1）求出二次函数的对称轴，对x∈[t，t+1]与对称轴的关系讨论其最小值，可得g（t）的解析式．
（2）根据函数g（t）的定义域范围与二次函数的性质求值域

解答 解：（1）f（x）=x²-2x，
∵f（x）的图象抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
∴当t+1≤1，即t≤0时，f（x）在[t，t+1]上单调递减，∴当x=t+1时，g（t）=f（t+1）=t²-1；
当t＜1＜t+1，即0＜t＜1时，g（t）=f（1）=-1；
当t≥1时，f（x）在[t，t+1]上单调递增，g（t）=f（t）=t²-2t．
综上，g（t）的解析式为：$g（t）=\left\{\begin{array}{l}{t^2}-1，t≤0\\-1，0＜t＜1\\{t^2}-2t，t≥1\end{array}\right.$；
（2）当t≤0时，g（t）=t²-1为减函数，g（t）≥g（0）=-1，
当0＜t＜1时，g（t）=-1，
当t≥1时，g（t）=t²-2t=（t-1）²-1为增函数，g（t）≥g（1）=-1，
综上函数g（t）的值域为[-1，+∞）．

点评 本题考查了二次函数在其定义域范围内的单调性的讨论求最值的问题．要抓住开口方向和对称轴是关键．属于中档题．