Question

19．设{a_n}是等比数列，公比q=$\sqrt{2}$，S_n为{a_n}的前n项和．记T_n=$\frac{17{S}_{n}-{S}_{2n}}{{a}_{n+1}}$，n∈N^*，设B_n为数列{T_n}的最大项，则n=4．

Answer 1

分析 首先用公比q和a₁分别表示出S_n和S_2n，代入T_n易得到T_n的表达式，再根据基本不等式得出n．

解答 解：依题意得：T_n=$\frac{17{S}_{n}-{S}_{2n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{\frac{17{a}_{1}[1-（\sqrt{2}）^{n}]}{1-\sqrt{2}}-\frac{{a}_{1}[1-（\sqrt{2}）^{2n}]}{1-\sqrt{2}}}{{a}_{1}（\sqrt{2}）^{n}}$
=$\frac{1}{1-\sqrt{2}}$•$\frac{（\sqrt{2}）^{2n}-17（\sqrt{2}）^{n}+16}{（\sqrt{2}）^{n}}$=$\frac{1}{1-\sqrt{2}}$•[（$\sqrt{2}$）ⁿ+$\frac{16}{（\sqrt{2}）^{n}}$-17]，
因为[（$\sqrt{2}$）ⁿ+$\frac{16}{（\sqrt{2}）^{n}}$≥8，当且仅当（$\sqrt{2}$）ⁿ=4，即n=4时取等号，
所以当n=4时T_n有最大值．
故答案是：4．

点评 本题考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题．