题目内容

在直角△ABC中，两条直角边分别为a、b，斜边和斜边上的高分别为c、h，则
c+h
a+b
的取值范围是______．
∵直角△ABC中，两条直角边分别为a、b，
∴斜边c=
a2+b2
，斜边上的高h=
ab
c
=
ab
a2+b2
，
因此，
c+h
a+b
=
a2+b2
+
ab
a2+b2
a+b

∵
a2+b2
+
ab
a2+b2
a+b
≥
2
a2+b2
×
ab
a2+b2
a+b
=
2
ab
a+b
，
2
ab
a+b
≥1
∴
a2+b2
+
ab
a2+b2
a+b
＞1（等号取不到），即
c+h
a+b
＞1
又
a2+b2
+
ab
a2+b2
a+b
=
a2+b2
(a+b)2
+
ab
(a+b)2
•
ab
a2+b2

设
ab
(a+b)2
=t，则
a2+b2
(a+b)2
=
1-2t
，
ab
(a+b)2
=
t
1-2t

可得f（t）=
1-2t
+
t
1-2t
，（0＜t≤
1
4
）
∵在区间（0，
1
4
）上f'（t）＞0，
∴f（t）在区间（0，
1
4
）上是增函数，可得当0＜t≤
1
4
时，f（t）的最大值为f（
1
4
）=
3
2
4

综上所述，
c+h
a+b
的取值范围是（1，
3
2
4
]
故答案为：（1，
3
2
4
]
练习册系列答案
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精英家教网在直角△ABC中，两直角边的长分别为a，b，直角顶点C到斜边的距离为h，则易证
1
h2
=
1
a2
+
1
b2
．在四面体SABC中，侧棱SA，SB，SC两两垂直，SA=a，SB=b，SC=c，点S到平面ABC的距离为h，类比上述结论，写出h与a，b，c的等式关系并证明．
在直角△ABC中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，则
c
a+b
的取值范围是
[
2
2
，1）
[
2
2
，1）
．
（2013•泗阳县模拟）在直角△ABC中，两条直角边分别为a、b，斜边和斜边上的高分别为c、h，则
c+h
a+b
的取值范围是
（1，
3
2
4
]
（1，
3
2
4
]
．
在直角△ABC中，两条直角边分别为a，b斜边和斜边上的高分别为c，h，则
c+ha+b
的最大值为
 
．

．在直角△ABC中，两直角边AC＝b，BC＝a，CD⊥AB于D，

       把这个Rt△ABC沿CD折成直二面角A－CD－B后，

       cos∠ACB＝           ．

 

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