Question

已知函数f(x)＝e^x，a，bR，且a＞0．
⑴若a＝2，b＝1，求函数f(x)的极值；
⑵设g(x)＝a(x－1)e^x－f(x)．
①当a＝1时，对任意x (0，＋∞)，都有g(x)≥1成立，求b的最大值；
②设g′(x)为g(x)的导函数．若存在x＞1，使g(x)＋g′(x)＝0成立，求的取值范围．

Answer 1

⑴f (x)的极大值是f (－1)＝e^－1，f (x)的极小值是f ()＝4;⑵① －1－e^－1 ;②（－1，＋∞）．

试题分析： ⑴由 a＝2，b＝1得，f (x)＝(2＋)e^x, 定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞);从而可求得 f ′(x)＝e^x, 令f ′(x)＝0，得x₁＝－1，x₂＝，列表可求得f (x)的极值.
⑵①当a＝1时，g (x)＝(x－－2)e^x,由已知得不等式g (x)≥1在x∈（0，＋∞）上恒成立,即b≤x²－2x－在x∈（0，＋∞）上恒成立,从而b≤(x²－2x－)_min x∈(0，＋∞）,令h(x)＝x²－2x－（x＞0）利用函数导数求出h(x)的最小值即可.
②由于g (x)＝(ax－－2a)e^x，所以g ′(x)＝(＋ax－－a)e^x; 由g (x)＋g ′(x)＝0，得(ax－－2a)e^x＋(＋ax－－a)e^x＝0，整理得2ax³－3ax²－2bx＋b＝0．
存在x＞1，使g (x)＋g ′(x)＝0成立，等价于存在x＞1，2ax³－3ax²－2bx＋b＝0成立．
注意到a＞0，所以＝（x＞1）;设u(x)＝（x＞1），则问题等价于的最小值(或下确界),利用函数导数可判断u(x)在上的单调性可求得从而可得的取值范围为（－1，＋∞）．
试题解析：⑴当a＝2，b＝1时，f (x)＝(2＋)e^x，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
所以f ′(x)＝e^x．令f ′(x)＝0，得x₁＝－1，x₂＝，列表

x	(－∞，－1)	－1	(－1，0)	(0，)		(，＋∞)
f ′(x)			－	－
f (x)	↗	极大值	↘	↘	极小值	↗

 
由表知f (x)的极大值是f (－1)＝e^－1，f (x)的极小值是f ()＝4．
⑵① 因为g (x)＝(ax－a)e^x－f (x)＝(ax－－2a)e^x，当a＝1时，g (x)＝(x－－2)e^x．
因为g (x)≥1在x∈（0，＋∞）上恒成立，所以b≤x²－2x－在x∈（0，＋∞）上恒成立．
记h(x)＝x²－2x－（x＞0），则h′(x)＝．
当0＜x＜1时，h′(x)＜0，h(x)在（0，1）上是减函数；
当x＞1时，h′(x)＞0，h(x)在（1，＋∞）上是增函数．
所以h(x)_min＝h(1)＝－1－e^－1．所以b的最大值为－1－e^－1．
②因为g (x)＝(ax－－2a)e^x，所以g ′(x)＝(＋ax－－a)e^x．
由g (x)＋g ′(x)＝0，得(ax－－2a)e^x＋(＋ax－－a)e^x＝0，整理得2ax³－3ax²－2bx＋b＝0．
存在x＞1，使g (x)＋g ′(x)＝0成立，等价于存在x＞1，2ax³－3ax²－2bx＋b＝0成立．
因为a＞0，所以＝．设u(x)＝（x＞1），则u′(x)＝．
因为x＞1，u′(x)＞0恒成立，所以u(x)在（1，＋∞）是增函数，所以u(x)＞u(1)＝－1，
所以＞－1，即的取值范围为（－1，＋∞）．