题目内容
16．
如图，已知一个八面体各棱长均为1，四边形ABCD为正方形，则下列命题中不正确的是（ ）| A． | 不平行的两条棱所在直线所成的角为60°或90° | |
| B． | 四边形AECF为正方形 | |
| C． | 点A到平面BCE的距离为$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$ | |
| D． | 该八面体的顶点在同一个球面上 |
分析 由已知求出图中任意两棱所成角的大小判断A、B正确；再由等积法求出点A到平面BCE的距离说明C错误；由ABCD为正方形，AECF为正方形，且两正方形边长相等，中心都为AC的中点说明D正确．
解答 解：∵八面体的各条棱长均为1，四边形ABCD为正方形，
∴在四棱锥E-ABCD中，相邻两条侧棱所成的角为60°，
∵AE=CE=1，AC=$\sqrt{2}$，满足AE2+CE2=AC2，∴AE⊥CE，
同理AF⊥CF，则四边形AECF是正方形．
再由异面直线所成角概念可知，图中每一条棱与和其异面的棱所成角为60°．
故A、B正确；
设点A到平面BCE的距离h，由VE-ABCD=2VA-BCE，
得$\frac{1}{3}$×1×1×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2×$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}h$，解得h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴点A到平面BCE的距离为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，故C错误；
由ABCD为正方形，AECF为正方形，且两正方形边长相等，中心都为AC的中点，
∴该八面体的顶点在以AC中点为球心，以$\frac{\sqrt{2}}{2}$为半径的球面上，故D正确．
∴不正确的命题是C．
故选：C．
点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查立体几何中线线关系以及线面关系，利用了等积法求点到平面的距离，是中档题．
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