题目内容

18．在锐角三角形ABC中，已知A=2C，则$\frac{a}{c}$的范围是（　　）
A．（0，2）B．（$\sqrt{2}$，2）C．（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）D．（$\sqrt{3}$，2）

分析 由已知C=2B可得A=180°-3B，再由锐角△ABC可得B的范围，由正弦定理可得$\frac{a}{c}$=$\frac{sinA}{sinC}$=2cosB．从而可求．

解答 解：∵锐角△ABC中，A=2C，
∴B=180°-3C，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{0＜2C＜90°}{0＜C＜90°}}\\{0＜180°-3C＜90°}\end{array}\right.$，
∴30°＜C＜45°
由正弦定理可得：$\frac{a}{c}$=$\frac{sinA}{sinC}$=2cosC，
∵$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜cosC＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\sqrt{2}$＜$\frac{a}{c}$＜$\sqrt{3}$．
故选：C．

点评 本题主要考查了三角形的内角和定理，正弦定理在解三角形的应用．属于中档题．

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