Question

15．若|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，且$\overrightarrow{m}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}$，求向量$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$的夹角θ的余弦值．

Answer 1

分析 运用向量的数量积的定义可得向量a，b的数量积，求得向量m，n的数量积和模，再由向量的夹角公式：cosθ=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$，计算即可得到所求值．

解答 解：|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，
可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cos60°=2×1×$\frac{1}{2}$=1，
由$\overrightarrow{m}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}$，
可得$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2$\overrightarrow{a}$²-4$\overrightarrow{b}$²-7$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=8-4-7=-3，
|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{4{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$=$\sqrt{16+1+4}$=$\sqrt{21}$，
|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}-8\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+16{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{4-8+16}$=2$\sqrt{3}$，
则cosθ=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-3}{\sqrt{21}•2\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{7}}{14}$．

点评 本题考查向量的夹角的余弦值，考查向量的数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．