Question

15．求证：2（1+cosα）-sin²α=4cos⁴$\frac{α}{2}$．

Answer 1

分析 利用1+cosα=$2co{s}^{2}\frac{α}{2}$及同角三角函数关系式能证明2（1+cosα）-sin²α=4cos⁴$\frac{α}{2}$．

解答 证明：2（1+cosα）-sin²α
=2×2$co{s}^{2}\frac{α}{2}$-1+cos²α
=4$co{s}^{2}\frac{α}{2}$-1+（$2co{s}^{2}\frac{α}{2}-1$）²
=4$co{s}^{2}\frac{α}{2}$-1+（$2co{s}^{2}\frac{α}{2}-1$）²+$4co{s}^{4}\frac{α}{2}-4co{s}^{2}\frac{α}{2}+1$
=4cos⁴$\frac{α}{2}$．
∴2（1+cosα）-sin²α=4cos⁴$\frac{α}{2}$．

点评 本题考查三角函数恒等式的化简证明，是中档题，解题时要认真审题，注意二倍角公式和同角三角函数关系式的合理运用．