Question

3．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}，}&{x≥a}\\{-{x}^{2}，}&{x＜a}\end{array}\right.$，a∈R，若存在实数b，使函数g（x）=f（x）-b有两个零点，则实数a的取值范围为（-∞，-1）．

Answer 1

分析 由g（x）=f（x）-b有两个零点可得f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的范围．

解答 解：∵g（x）=f（x）-b有两个零点
∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，
由于y=-x²在（-∞，a）递增，y=x³在[a，+∞）递增，
要使y=f（x）与y=b的图象有两个交点，
可得$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\-{a}^{2}＞{a}^{3}\end{array}\right.$，
可得a＜-1．
实数a的取值范围为：（-∞，-1）．
故答案为：（-∞，-1）．

点评 本题考查函数与方程的综合应用，函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合的数学思想，属于中档题．