Question

18．等差数列{a_n}的公差为d，关于x的不等式 $\frac{d}{2}$x²+（a₁-$\frac{d}{2}$）x+c≥0的解集为[0，20]，则使数列{a_n}的前n项和S_n最大的正整数n的值是10．

Answer 1

分析 关于x的不等式 $\frac{d}{2}$x²+（a₁-$\frac{d}{2}$）x+c≥0的解集为[0，20]，可得：$\frac{d}{2}$＜0，c=0，0+20=-$\frac{{a}_{1}-\frac{d}{2}}{\frac{d}{2}}$，化为：2a₁+19d=0，a₁+a₂₀=0，a₁＞0．可得a₁₀+a₁₁=0，a₁₀＞0，a₁₁＜0．即可得出．

解答 解：∵关于x的不等式 $\frac{d}{2}$x²+（a₁-$\frac{d}{2}$）x+c≥0的解集为[0，20]，
∴$\frac{d}{2}$＜0，c=0，0+20=-$\frac{{a}_{1}-\frac{d}{2}}{\frac{d}{2}}$，化为：2a₁+19d=0，∴a₁+a₂₀=0，a₁＞0．
∴a₁₀+a₁₁=0，∴a₁₀＞0，a₁₁＜0．
∴使数列{a_n}的前n项和S_n最大的正整数n的值是10．
故答案为：10．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、方程的解法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．