Question

10．已知函数 f（x）的定义域为 A，若当f（x₁）=f（x₂）（x₁，x₂∈A）时，总有x₁=x₂，则称 f（x）为单值函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单值函数．给出下列命题：
①函数f（x）=x²（x∈R）是单值函数；
②函数f（x）=2^x（x∈R）是单值函数；③若f（x）为单值函数，x₁，x₂∈A，且x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂）；
④函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x}，x≥0}\\{（\frac{1}{2}）^{x}-1，x＜0}\end{array}\right.$是单值函数．
其中的真命题是②③．（写出所有真命题的编号）

Answer 1

分析 由新定义可知，满足题意的函数实际上是单调函数．
由二次函数f（x）=x²（x∈R）的单调性判断①；由指数函数的单调性判断②；结合单调函数的性质判断③，由分段函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x}，x≥0}\\{（\frac{1}{2}）^{x}-1，x＜0}\end{array}\right.$的单调性判断④．

解答 解：由f（x₁）=f（x₂）（x₁，x₂∈A）时，总有x₁=x₂，则f（x）实际上是单调函数．
①函数f（x）=x²（x∈R）在（-∞，0）上单调递减，（0，+∞）上单调递增，故不是单值函数；
②函数f（x）=2^x（x∈R）是单调函数，故f（x）=2^x（x∈R）是单值函数；
③f（x）为单值函数，则f（x）是单调函数，若x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂）；
④函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x}，x≥0}\\{（\frac{1}{2}）^{x}-1，x＜0}\end{array}\right.$是分段函数，在（-∞，0）上单调递减，（0，+∞）上单调递增，故不是单值函数．
故答案为：②③．

点评 本题是新定义题，考查命题的真假判断与应用，考查了基本初等函数的单调性，是中档题．