Question

15．已知f（x）=1+x-$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{4}}{4}$+…+$\frac{{x}^{2015}}{2015}$；g（x）=1-x+$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{3}}{3}$+$\frac{{x}^{4}}{4}$-…-$\frac{{x}^{2015}}{2015}$；设函数F（x）=[f（x+3）]•[g（x-4）]，且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b-a的最小值为（　　）

• A． 8
• B． 9
• C． 10
• D． 11

Answer 1

分析 利用导数分别求出函数f（x）、g（x）的零点所在的区间，然后要求F（x）=f（x+3）•g（x-4）的零点所在区间，即求f（x+3）的零点和g（x-4）的零点所在区间，根据图象平移即可求得结果

解答 解：∵f（0）=1＞0，f（-1）=（1-1）+（-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（-$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$）＜0
当x∈（-1，0）时，f′（x）=$\frac{1+{x}^{2015}}{1+x}$＞0，
∴函数f（x）在区间（-1，0）上单调递增，
故函数f（x）有唯一零点x∈（-1，0）；
∵g（1）=（1-1）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$）＞0，
g（2）=（1-2）+（2-$\frac{8}{3}$）+…+（$\frac{{2}^{2014}}{2014}$-$\frac{{2}^{2015}}{2015}$）＜0，
当x∈（1，2）时g′（x）=-1+x-x²+…-x²⁰¹⁴=-$\frac{-（1+{x}^{2015}）}{1+x}$＜0
∴函数g（x）在区间（1，2）上单调递减，故函数g（x）有唯一零点x∈（1，2）；
∵F（x）=f（x+3）•g（x-4），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，
∴f（x+3）的零点在（-4，-3）内，g（x-4）的零点在（5，6）内，
因此F（x）=f（x+3）•g（x-3）的零点均在区间[-4，6]内，
∴b-a的最小值为10．
故选C：．

点评 本题考查函数零点判定定理和利用导数研究函数的单调性以及数列求和问题以及函数图象的平移，体现了分类讨论的思想，以及学生灵活应用知识分析解决问题的能力．属于中档题．