Question

20．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距为2$\sqrt{6}$，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx-2与椭圆C交于A，B两点，点P（0，1），且|PA|=|PB|，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的定义可得a，由焦距的概念可得c，再由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）直线l：y=kx-2代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由中点坐标公式和两直线垂直的条件，可得k的方程，解方程可得直线方程．

解答 解：（Ⅰ）由椭圆的定义可得2a=6，2c=2$\sqrt{6}$，
解得a=3，c=$\sqrt{6}$，
所以b²=a²-c²=3，
所以椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．                 
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=9}\end{array}\right.$   
得（1+3k²）x²-12kx+3=0，
由于直线与椭圆有两个不同的交点，
所以△=144k²-12（1+3k²）＞0解得${k^2}＞\frac{1}{9}$．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则${x_1}+{x_2}=\frac{12k}{{1+3{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{3}{{1+3{k^2}}}$，
${y_1}+{y_2}=k（{x_1}+{x_2}）-4=k•\frac{12k}{{1+3{k^2}-4}}=-\frac{4}{{1+3{k^2}}}$，
所以，A，B中点坐标E（$\frac{6k}{{1+3{k^2}}}$，$-\frac{2}{{1+3{k^2}}}$），
因为|PA|=|PB|，所以PE⊥AB，即k_PE•k_AB=-1，
所以$\frac{-2-（1+3{k}^{2}）}{6k}$•k=-1
解得k=±1，
经检验，符合题意，
所以直线l的方程为x-y-2=0或x+y+2=0．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义和焦距的概念，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，由两直线垂直的条件，考查运算能力，属于中档题．