Question

设函数f（x）=axⁿ⁺¹+bxⁿ（x＞0），n为正整数，a，b均为常数，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x+y-1=0．
（Ⅰ）求a、b值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅲ）证明：对任意的x∈（0，+∞）都有nf（x）＜

1

e

．（e为自然对数的底）

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）利用切线是曲线和切线的公共点，得到点的纵坐标和切线斜率，再利用函数和导函数数求出参数；
（Ⅱ）利用导函数值的正负，研究函数的单调性，从而得到函数的最值；
（Ⅲ）将原式变形后，通过换元，得到新函数，求出新函数的导函数，再通过导函数研究其极值，证出本题结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵点（1，f（1））在切线x+y-1=0上，
∴f（1）=0．
又∵函数f（x）=axⁿ⁺¹+bxⁿ，
∴f（1）=a+b，
∴a+b=0．
∵f′（x）=a（n+1）xⁿ+bnx^n-1，
∴f′（1）=（a+b）n+a=a，
又∵切线x+y=1的斜率为-1，
∴a=-1，
∴a=-1，b=1．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：f（x）=-xⁿ⁺¹+xⁿ，
故f ′(x)=(n+1)xn-1(

n

n+1

-x)，
令f′（x）=0，
解得x=

n

n+1

，
即f′（x）在（0，+∞）上有唯一零点x0=

n

n+1

．
当0＜x＜

n

n+1

时，f′（x）＞0，故f（x）在(0，

n

n+1

)上单调递增；
当x＞

n

n+1

时，f′（x）＜0，故f（x）在(

n

n+1

，+∞)上单调递减．
[f(x)]max=f(

n

n+1

)=(

n

n+1

)n(1-

n

n+1

)=

nn

(1+n)n+1

．
（Ⅲ）证明：要对任意的x∈（0，+∞）都有nf(x)＜

1

e

，只需证f(x)＜

1

ne

．
由（Ⅱ）知f（x）在（0，+∞）上有最大值，[f(x)]max=

nn

(n+1)n+1

，
故只需证

nn

(1+n)n+1

＜

1

ne

，即(

n

n+1

)n+1＜

1

e

，即ln

n

n+1

+

1

n+1

＜0，①
令

n

n+1

=t(0＜t＜1)，则

1

n+1

=1-t，
①转化为lnt-t+1＜0 ②
令g（t）=lnt-t+1（0＜t＜1），
则g ′(t)=

1

t

-1=

1-t

t

，
当0＜t＜1时，g′（t）＞0，所以g（t）在（0，1）上单调递增，
∴g（t）＜g（1）=0，即对于任意的0＜t＜1，②式恒成立，
∴对任意的x∈（0，+∞）都有nf（x）＜

1

e

．

点评：本题考查的是导函数的知识，利用导函数研究切线方程，利用导函数研究函数的单调性和最值，本题涉及到函数的变形、换元和对数运算，难度较大，属于难题．