Question

已知圆C：（x+1）²+y²=20点B（l，0）．点A是圆C上的动点，线段AB的垂直平分线与线段AC交于点P．
（I）求动点P的轨迹C₁的方程；
（Ⅱ）设M(0，

1

5

)，N为抛物线C₂：y=x²上的一动点，过点N作抛物线C₂的切线交曲线C_l于P，Q两点，求△MPQ面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知可得动点P的轨迹C₁是一个椭圆，其中2a=2

5

，2c=2，由此能求出动点P的轨迹C₁的方程．（Ⅱ）设N（t，t²），则PQ的方程为y=2tx-t²，联立方程组

y=2tx-t2 x2 5 + y2 4 =1

，得：（4+20t²）x²-20t³x+5t⁴-20=0，由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式、弦长公式，结合已知条件能求出三角形面积的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由已知可得，
点P满足|PB|+|PC|=|AC|=2

5

＞2=|BC|
∴动点P的轨迹C₁是一个椭圆，其中2a=2

5

，2c=2…（2分）
∴动点P的轨迹C₁的方程为

x2

5

+

y2

4

=1．…（4分）
（Ⅱ）设N（t，t²），则PQ的方程为：y-t²=2t（x-t），
整理，得y=2tx-t²，
联立方程组

y=2tx-t2 x2 5 + y2 4 =1

，消去y整理得：（4+20t²）x²-20t³x+5t⁴-20=0，…（6分）
有

△=80(4+20t2-t4)＞0 x1+x2= 20t3 4+20t2 x1x2= 5t4-20 4+20t2

，
而|PQ|=

1+4t2

×|x1-x2|=

1+4t2

×

80(4+20t2-t4)

4+20t2

，
点M到PQ的高为h=

1 5 +t2

1+4t2

，…（10分）
由S△MPQ=

1

2

|PQ|h代入化简得：
即S△MPQ=

5

10

-(t2-10)2+104

≤

5

10

•

104

=

130

5

；
当且仅当t²=10时，S_△MPQ可取最大值

130

5

．
当直线的斜率不存在时，x=t，S_△MPQ=

5

5

．
∴S_△MPQ最大值

130

5

．…（12分）

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，解题时要注意根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式、弦长公式的合理运用．