Question

已知a≤

1-x

x

+lnx，对任意x∈[

1

2

，2]恒成立，则a的最大值

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：设f（x）=

1-x

x

+lnx，依题意，a≤f（x）_min，利用导数法可求得f（x）=

1-x

x

+lnx的极小值，也是最小值，从而可得a的最大值．

解答： 解：设f（x）=

1-x

x

+lnx，
f′（x）=-

1

x2

+

1

x

=

x-1

x2

，
∵a≤

1-x

x

+lnx，对任意x∈[

1

2

，2]恒成立，
∴a≤f（x）_min，
令f′（x）=0，得：x=1；
当

1

2

≤x＜1时，f′（x）＜0，f（x）=

1-x

x

+lnx单调递减；
当1＜x≤2时，f′（x）＞0，f（x）=

1-x

x

+lnx单调递增；
∴f（x）_min=f（1）=0，
∴a≤0，
∴a的最大值为：0．
故答案为：0．

点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查构造函数思想、等价转化思想与导数法求极值的综合应用，求得f（x）=

1-x

x

+lnx的最小值是关键，属于中档题．