Question

10．已知函数f（x）=-x+log₂$\frac{1-x}{1+x}$，若方程m-e^-x=f（x）在[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]内有实数解，则实数m的最小值是（　　）

• A． e${\;}^{-\frac{1}{3}}$+$\frac{4}{3}$
• B． e${\;}^{\frac{1}{3}}$+$\frac{4}{3}$
• C． e${\;}^{\frac{1}{3}}$-$\frac{4}{3}$
• D． e${\;}^{-\frac{1}{3}}$-$\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 化简f（x）=-x+log₂$\frac{1-x}{1+x}$=-x+log₂（$\frac{2}{1+x}$-1），从而由复合函数及函数的四则运算可得函数f（x）是[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]上的减函数；化简可得方程m=e^-x+f（x）在[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]内有实数解，而函数y=e^-x+f（x）=e^-x-x+log₂$\frac{1-x}{1+x}$在[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]上是减函数，从而可得实数m的最小值是${e}^{-\frac{1}{3}}$-$\frac{1}{3}$+log₂$\frac{1}{2}$=${e}^{-\frac{1}{3}}$-$\frac{4}{3}$．

解答 解：∵f（x）=-x+log₂$\frac{1-x}{1+x}$=-x+log₂（$\frac{2}{1+x}$-1），
而y=-x是[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]上的减函数，y=$\frac{2}{1+x}$-1是[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]上的减函数，y=log₂x是（0，+∞）上的增函数，
∴函数f（x）是[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]上的减函数；
∵方程m-e^-x=f（x）在[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]内有实数解，
∴方程m=e^-x+f（x）在[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]内有实数解，
又∵y=e^-x在[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]上是减函数，
∴函数y=e^-x+f（x）=e^-x-x+log₂$\frac{1-x}{1+x}$在[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]上是减函数，
∴${e}^{-\frac{1}{3}}$-$\frac{1}{3}$+log₂$\frac{1}{2}$≤e^-x-x+log₂$\frac{1-x}{1+x}$≤${e}^{\frac{1}{3}}$+$\frac{1}{3}$+log₂2，
∴${e}^{-\frac{1}{3}}$-$\frac{1}{3}$+log₂$\frac{1}{2}$≤m≤${e}^{\frac{1}{3}}$+$\frac{1}{3}$+log₂2，
∴实数m的最小值是${e}^{-\frac{1}{3}}$-$\frac{1}{3}$+log₂$\frac{1}{2}$=${e}^{-\frac{1}{3}}$-$\frac{4}{3}$；
故选D．

点评 本题考查了函数的单调性的判断，复合函数与函数的四则运算的应用，同时考查了转化法的应用，属于中档题．