题目内容
棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为C1D1的中点．①求证：AE⊥DA1；
②求异面直线AE与CC1所成的角的正弦值．
考点：异面直线及其所成的角
专题：空间角
分析：（1）连接AD1，DA1，则AD1⊥DA1，从而得到A1D⊥面AED1，由此能证明AE⊥DA1．
（2）由AA1∥CC1，知异面直线AE与CC1所成的角的平面角为∠EAA1，由此能求出异面直线AE与CC1所成的角的正弦值．
（2）由AA1∥CC1，知异面直线AE与CC1所成的角的平面角为∠EAA1，由此能求出异面直线AE与CC1所成的角的正弦值．
解答：
（1）证明：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
连接AD1，DA1，则AD1⊥DA1，
∵C1D1⊥面AA1D1D，
∴ED1⊥DA1，∴A1D⊥面AED1，
∴AE⊥DA1．（6分）
（2）解：∵AA1∥CC1，
∴异面直线AE与CC1所成的角的平面角为∠EAA1，
在Rt△EA1A中，∵AE=3，A1E=
，
∴sin∠EAA1=
=
，
∴异面直线AE与CC1所成的角的正弦值为
．（12分）
连接AD1，DA1，则AD1⊥DA1，
∵C1D1⊥面AA1D1D，
∴ED1⊥DA1，∴A1D⊥面AED1，
∴AE⊥DA1．（6分）
（2）解：∵AA1∥CC1，
∴异面直线AE与CC1所成的角的平面角为∠EAA1，
在Rt△EA1A中，∵AE=3，A1E=
| 5 |
∴sin∠EAA1=
| A1E |
| AE |
| ||
| 3 |
∴异面直线AE与CC1所成的角的正弦值为
| ||
| 3 |
点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查异面直线所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
练习册系列答案
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