Question

20．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请200名同学，每人随机写下一个都小于1 的正实数对（x，y）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m；最后再根据统计数m来估计π的值．假如统计结果是m=56，那么可以估计π≈$\frac{78}{25}$．（用分数表示）

Answer 1

分析 由试验结果知200对0～1之间的均匀随机数x，y，对应区域的面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足x²+y²＜1且x，y都小于1，x+y＞1，面积为$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}$，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，二者相等即可估计π的值．

解答 解：由题意，200对都小于l的正实数对（x，y），对应区域的面积为1，
两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足x²+y²＜1且x，y都小于1，x+y＞1，面积为$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}$，
因为统计两数能与l 构成钝角三角形三边的数对（x，y） 的个数m=56，
所以$\frac{56}{200}$=$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}$，所以π=$\frac{78}{25}$．
故答案为：$\frac{78}{25}$．

点评 本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率的应用问题，是综合题．