Question

19．若a＞0，b＞0，a+2b=ab，则3a+b的最小值为7+2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 变形已知式子可得$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=1，整体代入可得3a+b=（3a+b）（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$）=7+$\frac{2b}{a}$+$\frac{3a}{b}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵a＞0，b＞0，a+2b=ab，
∴$\frac{a+2b}{ab}$=1，即$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=1，
∴3a+b=（3a+b）（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$）
=7+$\frac{2b}{a}$+$\frac{3a}{b}$≥7+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{3a}{b}}$=7+2$\sqrt{6}$
当且仅当$\frac{2b}{a}$=$\frac{3a}{b}$时取等号，
结合$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$=1可解得a=$\frac{6+\sqrt{6}}{3}$且b=$\sqrt{6}$+1，
故答案为：7+2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查基本不等式求最值，得出$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=1并整体代入是解决问题的关键，属基础题．