Question

10．若△ABC的内切圆面积为3π，三角形面积是10$\sqrt{3}$，A=60°，则BC边的长是（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 7
• D． 8

Answer 1

分析 设三角形ABC内切圆心为O，半径为r，与AB，AC，BC分别切于E，F，D，由已知可求∠EAO=∠FAO=30°，利用圆的面积可求r，进而可求AE=AF=3，由BE=BD，CF=CD，可求AB+AC+BC=6+2BC，根据三角形面积公式即可解得BC的值．

解答 解：设三角形ABC内切圆心为O，半径为r，与AB，AC，BC分别切于E，F，D ，
则AO平分∠BAC，OE=OF=OD=r，
因∠A=60°，
所以∠EAO=∠FAO=30°，
因为：△ABC的内切圆面积为3π=πr²，解得：r=$\sqrt{3}$，
所以：AE=$\frac{r}{tan30°}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=3，
得：AE=AF=3，BE=BD，CF=CD，
所以：AB+AC+BC=AE+EB+AF+FC+BC=3+3+（EB+FC）+BC=3+3+2BC=6+2BC，
因为：S=$\frac{1}{2}$（AB+AC+BC ）•r=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（AB+AC+BC ）=10$\sqrt{3}$，解得：AB+AC+BC=20，可得：6+2BC=20，
所以：解得：BC=7．
故选：C．

点评 本题主要考查了三角形面积公式，三角形内切圆的性质，三角函数定义在解三角形中的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．