Question

15．在平面四边形ABCD中，
（1）若已知AD=8，CD=6，AB=13，∠ADC=90°，且$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=50．求sin∠BAD的值；
（2）若AC=3，BD=2，求（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{DC}$）•（$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BD}$）的值．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ADC中，解直角三角形求得AC，cos∠CAD，sin∠CAD，再由数量积求夹角求得cos∠BAC，进一步得sin∠BAC，再由两角和的正弦求得sin∠BAD的值；
（2）利用平面向量的加法与减法法则转化为向量$\overrightarrow{AC}、\overrightarrow{BD}$求解．

解答 解：（1）在Rt△ADC中，AD=8，CD=6，∠ADC=90°，
则AC=10，cos∠CAD=$\frac{4}{5}$，sin∠CAD=$\frac{3}{5}$．
∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=50，AB=13，
∴cos∠BAC=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{5}{13}$．
∵0＜∠BAC＜π，∴sin∠BAC=$\frac{12}{13}$．
∴sin∠BAD=sin（∠BAC+∠CAD）=$\frac{63}{65}$．
（2）由于$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{DB}$+$\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{DB}$+$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{BD}$．
∴（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{DC}$）•（$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BD}$）=（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{BD}$）•（$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BD}$）=$|\overrightarrow{AC}{|}^{2}-|\overrightarrow{BD}{|}^{2}$=9-4=5．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查向量的加法法则与减法法则，体现了数学转化思想方法，是中档题．