Question

在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且（b²+c²-a²）sinA=2S_△ABC．
（1）求∠A的大小；
（2）若a=2，求b+c的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：综合题,解三角形

分析：（1）结合三角形面积公式和已知可解得b²+c²-a²=bc，代入余弦定理可解得A的值．
（2）通过余弦定理以及基本不等式求出b+c的范围，再利用三角形三边的关系求出b+c的范围．

解答： 解：（1）∵S_△ABC=

1

2

bcsinA，
∴结合已知可得：（b²+c²-a²）sinA=bcsinA．可解得：b²+c²-a²=bc，
∴由余弦定理可得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
∵0＜A＜π，
∴A=

π

3

．
（2）由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA，
则4=b²+c²-bc，
∴（b+c）²-3bc=4，
即3bc=（b+c）²-4≤3[

1

2

（a+b）]²，
化简得，（b+c）²≤16（当且仅当b=c时取等号），
则b+c≤4，又b+c＞a=2，
综上得，b+c的取值范围是（2，4]．

点评：本题考查正弦定理与余弦定理的应用，两角和的正弦公式，三角形的边角关系式，以及基本不等式求最值，考查分析问题、解决问题的能力，属于难题．