Question

有一小型自来水厂，蓄水池中已有水500吨，水厂每小时可向蓄水池注水90吨，同时蓄水池向居民小区供水，x小时内供水总量为90

12x

吨．现在开始向池中注水并同时向居民小区供水，问：
（Ⅰ）多少小时后蓄水池中的水量最少，最少为多少吨？
（Ⅱ）如果蓄水池中存水量少于350吨时，就会出现供水紧张，那么有几个小时供水紧张？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）设x小时后蓄水池中的水量为y，由题意得：y=500+90x-90

12x

=500+90x-180

3x

（x≥0），令t=

3x

，则t≥0，x=

t2

3

，转化为二次函，利用二次函数的单调性即可得出最小值；
（Ⅱ）由题意，当y＜350吨时就会出现供水紧张现象，即t²-6t+5＜0，解得t，即得x的范围，即可得出结果．

解答： 解：设x小时后蓄水池中的水量为y吨，则有：y=500+90x-90

12x

=500+90x-180

3x

（x≥0）…（2分）
（Ⅰ）令t=

3x

，则t≥0，x=

t2

3

，
∴y=500+30t²-180t=30（t-3）²+230，
∴当t=3，及

3x

=3，x=3时，y_min=230吨，
∴3小时后蓄水池中的水量最少，最少为230吨；             …（6分）
（Ⅱ）由题意500+90x-180

3x

＜350…．（7分）
由第（Ⅰ）问知：500+30t²-180t＜350，
∴t²-6t+5＜0，∴1＜t＜5，…．（9分）
即1＜

3x

＜5，∴

1

3

＜x＜

25

3

，…．（10分）
∵

25

3

-

1

3

=8，故有8小时供水紧张．…．…．（12分）

点评：本题考查换元法、二次函数的单调性、一元二次不等式的解法，正确理解题意并得出关系式是解题的关键．