Question

已知集合A={（x，y）|x²+y²-4x-14y+45＜0}，B={（x，y）|y＞|x-m|+7}．
（1）若A∩B≠∅，求m的取值范围；
（2）若点Q的坐标为（m，7），且Q∈A，集合A，B所表示的两个平面区域的边界交于点M，N，求△QMN的面积的最大值．

Answer 1

考点：集合关系中的参数取值问题

专题：数形结合,直线与圆,集合

分析：对于（1），集合A表示不含边界的圆面，集合B表示一个角内部，只要两个图形没有交点即可
对于（2），将三角形△QMN的面积用函数表示出来求面积的最大值即可．

解答： 解：（1）因为A={（x，y）|x²+y²-4x-14y+45＜0}，表示以C（2，7）为圆心的圆，
B={（x，y）|y＞|x-m|+7}，表示两射线组成的区域，如图（上）
  由射线y=x-m+7（m＜2）与圆C相切，d=

|2-7-m+7|

2

=2

2

，得m=-2
同理，射线y=-x+m+7（m＞2）与圆相切，得m=6
要使A∩B≠∅，只要m≤-2，或m≥6即可．
故m的取值范围是（-∞，-2]∪[6，+∞）
（2）设|QN|=n，|QM|=m．∵QM⊥QN，∴△QMN的面积S=

1

2

mn，如图（下），
设|QC|=a，则Q到QN，QM的距离均为

2

2

a，
∴|QM|=

R2- a2 2

+

2

2

a，|QM|=

R2- a2 2

-

2

2

a，R²=8，
∴S=

1

2

mn=

1

2

（R²-a²）=

1

2

（8-a²）≤4
 故△QMN面积的最大值是4．

点评：本题借助集合考查了直线与圆的位置关系，体现了数形结合 的数学思想．属于中档题．