Question

设函数f（x）=|x|（x-a）²（x∈R），其中a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）当|a|≥2，x∈（0，2]时，函数f（x）的最大值为8时，求a；
（Ⅲ）当a＞0，k＜0时，f（k-e^x）≤f（-k²-e^2x）对任意的x≥0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数的导数，根据导数的几何意义即可求在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）当|a|≥2，x∈（0，2]时，求函数的导数，根据函数f（x）的最大值为8时，建立条件关系即可求a；
（Ⅲ）将不等式恒成立进行转化，结合函数的性质即可得到结论．

解答： 解：由题意得，f(x)=

x3-2ax2+a2x  (x≥0) -x3+2ax2-a2x  (x＜0)

，
∴f′(x)=

3x2-4ax+a2  (x≥0) -3x2+4ax-a2  (x＜0)

（I）当a=1，x=2时，f'（2）=5，f（2）=2，
∴曲线y=f（x）在点A（2，f（2））处的切线方程为5x-y-8=0，
（II）∵x∈（0，2]，
∴f'（x）=3x²-4ax+a²，
（i） 当a＜-2，x∈（0，2]，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，2]上单调递增，
∴f（x）_max=f（2）=8，∴a=4或0（舍去）．
（ii） 当2≤a＜6，x∈(0，

a

3

]，f'（x）＞0；
x∈(

a

3

，2]，f'（x）＜0，
∴f(x)max=f(

a

3

)=8，∴a=3

3	2

，
（iii） 当a≥6，x∈（0，2]，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，2]上单调递增，
∴f（x）_max=f（2）=8，
∴a=4或0（舍去），
∴由（i） （ii） （iii）可得 x∈[0，2]，a=3

3	2

，函数f（x）的最大值为8．
（III）由题意得，k-ex＜0 ，  -k2-e2x＜0，
又∵a＞0，得 

a

3

＞0，
∴f（x）在（-∞，0）上单调递减，
又∵f（k-e^x）≤f（-k²-e^2x）对任意的x≥0恒成立，
∴k-e^x≥-k²-e^2x，即k+k²≥e^x-e^2x，
设g（x）=e^x-e^2x，当x≥0时，g（x）_max=0，
∴k²+k≥0，解得，k≤-1或k≥0（舍去），
∴当a＞3，k≤-1时，f（k-e^x）≤f（-k²-e^2x）对任意的x≥0恒成立．

点评：本题主要考查导数的综合应用，考查导数的几何意义以及函数单调性与导数之间的关系，考查学生的运算能力．