题目内容
如果不等式x|x-a|+b＜0（b为常数）对x∈[0，1]恒成立，求实数a的取值范围．
考点：函数恒成立问题
专题：函数的性质及应用
分析：需要分类讨论，当b＜0，当x=0时，a取任意实数不等式恒成立． 当-1≤b＜0时，或当b＜-1时，将不等式恒成立转化为求函数的最值即可得到结论．
解答：
解：显然b＜0，当x=0时，a取任意实数不等式恒成立．
∵x∈[0，1]时，原不等式可变为|x-a|＜-
，即x+
＜a＜x-
故（x+
）max＜a＜（x-
）min，x∈[0，1]时
∵b＜0，f（x）=x+
在（0，1]上为增函数，所以（x+
）max=f（1）=1+b，
当-1≤b＜0时，在（0，1]上，x-
=x+
≥2
，当x=
时，（x-
）min=2
，
此时，要使a存在，必须有
，即-1≤b＜3+2
，
当b＜-1时，在（0，1]上，f（x）=x-
为减函数； 当x=1时，其值最小，所以（x-
）min=1-b，
综上所述，当-1≤b＜3+2
时，a的取值范围是（1+b，2
）；
当b＜-1时，a的取值范围是（1+b，1-b）；
∵x∈[0，1]时，原不等式可变为|x-a|＜-
| b |
| x |
| b |
| x |
| b |
| x |
故（x+
| b |
| x |
| b |
| x |
∵b＜0，f（x）=x+
| b |
| x |
| b |
| x |
当-1≤b＜0时，在（0，1]上，x-
| b |
| x |
| -b |
| x |
| -b |
| -b |
| b |
| x |
| -b |
此时，要使a存在，必须有
|
| 2 |
当b＜-1时，在（0，1]上，f（x）=x-
| b |
| x |
| b |
| x |
综上所述，当-1≤b＜3+2
| 2 |
| -b |
当b＜-1时，a的取值范围是（1+b，1-b）；
点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．
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