Question

20．如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面α，C是圆周上不同于A、B的点．
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）过A作AD⊥PC（D为垂足），过D作DE⊥PB（E为垂足），求证：PB⊥平面ADE．

Answer 1

分析 （I）由PA⊥平面ABC得PA⊥BC，结合AC⊥BC得出BC⊥平面PAC，于是平面PAC⊥平面PBC；
（II）由BC⊥平面PAC得BC⊥AD，结合AD⊥PC得出AD⊥平面PBC，于是AD⊥PB，结合PB⊥DE得出PB⊥平面ADE．

解答 证明：（I）∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，
∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，
又PA∩AC=A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，
又BC?平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC．
（II）由（I）可知BC⊥平面PAC，AD?平面PAC，
∴BC⊥AD，
又AD⊥PC，PC∩BC=C，PC?平面PBC，BC?平面PBC，
∴AD⊥平面PBC，又PB?平面PBC，
∴AD⊥PB，
又PB⊥DE，AD∩DE=D，AD?平面ADE，DE?平面ADE，
∴PB⊥平面ADE．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，属于中档题．