Question

已知F₁，F₂ 是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右两个焦点，过点F₁作垂直于x轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，△ABF₂是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据题意，求出AB=

2bc

a

，F₁F₂=2c，△ABF₂是锐角三角形，只要∠AF₂B为锐角，即AF₁＜F₁F₂即可，从而可得结论

解答： 解：根据题意，双曲线的渐近线方程为y=±

b

a

x，
将x=-c，代入解得，A（-c，

cb

a

），B（-c，

bc

a

）．
易得AB=

2bc

a

，F₁F₂=2c，
由题设条件可知△ABF₂为等腰三角形，
△ABF₂是锐角三角形，只要∠AF₂B为锐角，即AF₁＜F₁F₂即可；
所以有

bc

a

＜2c，
即4a²＞c²-a²，
解出e∈（1，

5

），
故答案为：（1，

5

）．

点评：本题考查双曲线的离心率和锐角三角形的判断，在解题过程中要注意隐含条件的挖掘．