Question

16．设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，且∠ABF=$\frac{π}{4}$，则椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可知：|AF|=|BF|，且AF⊥BF，根据斜率公式及椭圆的性质，列方程组即可求得B的坐标，由A、B分别是椭圆的上下顶点，可知c=b，根据椭圆的性质即可求得椭圆的离心率．

解答 解：设A（x₀，y₀），则B（-x₀，-y₀），而F（c，0），
依题意有|AF|=|BF|，且AF⊥BF，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}-{c}^{2}+{y}_{0}^{2}=-{x}_{0}-{c}^{2}+{y}_{0}^{2}}\\{\frac{{y}_{0}-0}{{x}_{0}-c}•\frac{-{y}_{0}-0}{-{x}_{0}-c}=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=0}\\{{y}_{0}=±c}\end{array}\right.$，
∴由题意知A、B分别是椭圆的上下顶点，
∴c=b，
∴c²=b²=a²-c²，解得：e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单性质，考查斜率公式及离心率公式，考查计算能力，属于中档题．