Question

17．已知函数f（x）=ax-1+blnx在点（1，f（1））处的切线为x轴．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当x＞0时，证明$\frac{1}{x+1}$＜ln$\frac{x+1}{x}$＜$\frac{1}{x}$．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，得到a，b的方程，即可得到f（x）的解析式，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；
（2）设Φ（x）=ln（1+x）-$\frac{x}{x+1}$，求得导数，由单调性，由此能够证明ln（1+x）＞$\frac{x}{x+1}$，将x换为$\frac{1}{x}$，即有ln（1+$\frac{1}{x}$）＞$\frac{1}{x+1}$；再由f（x）的单调区间，可得f（x）≥f（1），即为lnx≤x-1，由x＞0，将x换为1+$\frac{1}{x}$，即可得证．

解答 解：（1）函数f（x）=ax-1+blnx的导数为f′（x）=a+$\frac{b}{x}$，
由在点（1，f（1））处的切线为x轴，
可得a+b=0，且a-1=0，
解得a=1，b=-1，
则f（x）=x-1-lnx，
导数为f′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得0＜x＜1．
即有f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）；
（2）证明：设Φ（x）=ln（1+x）-$\frac{x}{x+1}$，
对ϕ（x）求导，得：Φ′（x）=$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1}{（x+1）^{2}}$=$\frac{x}{（x+1）^{2}}$，
当x＞0时，ϕ′（x）＞0，
∴ϕ（x）在（0，+∞）内是增函数．
当x＞0时，ϕ（x）＞ϕ（0）=0，
即ln（1+x）-$\frac{x}{x+1}$＞0，
∴即有ln（1+x）＞$\frac{x}{x+1}$，
将x换为$\frac{1}{x}$，即有ln（1+$\frac{1}{x}$）＞$\frac{1}{x+1}$；
由f（x）=x-1-lnx的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1），
可得f（x）≥f（1），即为lnx≤x-1，
由x＞0，将x换为1+$\frac{1}{x}$，即有ln（1+$\frac{1}{x}$）＜$\frac{1}{x}$．
则有$\frac{1}{x+1}$＜ln$\frac{x+1}{x}$＜$\frac{1}{x}$成立．

点评 本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明，考查推理论证能力，运算推导能力，等价转化思想，分类讨论思想．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的综合应用．