Question

12．设集合A={y|y=ln[kx²-（k+3）x-1]，x∈R}，集合B={y|y=x-$\frac{1}{x}$，x∈R}，若A=B，则k的取值范围是[0，+∞）．

Answer 1

分析 对于集合B：f（x）=x-$\frac{1}{x}$（x≠0），f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，利用单调性可得：其值域为R．因此集合A=R．对于集合A：k=0时化为g（x）=ln（-3x-1），要求-3x-1＞0，解得$x＜-\frac{1}{3}$，此时g（x）的值域为R，满足题意．k≠0，由$\left\{\begin{array}{l}{k＞0}\\{△=（k+3）^{2}+4k＞0}\end{array}\right.$解得：k＞0，此时函数的值域为R．即可得出．

解答 解：对于集合B：f（x）=x-$\frac{1}{x}$（x≠0），f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，∴函数f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上单调递增．其值域为R．
∵A=B，因此集合A=R．
对于集合A：k=0时化为g（x）=ln（-3x-1），要求-3x-1＞0，解得$x＜-\frac{1}{3}$，此时g（x）的值域为R，满足题意．
k≠0，由$\left\{\begin{array}{l}{k＞0}\\{△=（k+3）^{2}+4k＞0}\end{array}\right.$解得：k＞0，此时函数的值域为R．
综上可得：k的取值范围是[0，+∞）．
故答案为：[0，+∞）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性值域、集合相等、一元二次不等式的解集与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．