Question

5．讨论函数f（x）=$\frac{ax}{{x}^{2}-1}$在（-1，1）的单调性，其中a为非零常数．

Answer 1

分析 可根据单调性的定义判断：在（-1，1）内任意设x₁＜x₂，然后作差，通分，提取公因式，便可得到f（x₁）-f（x₂）=$\frac{a（{x}_{2}-{x}_{1}）（{x}_{1}{x}_{2}+1）}{（{{x}_{1}}^{2}-1）（{{x}_{2}}^{2}-1）}$，可以说明$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）（{x}_{1}{x}_{2}+1）}{（{{x}_{1}}^{2}-1）（{{x}_{2}}^{2}-1）}＞0$，从而讨论a的符号，从而判断出f（x₁）与f（x₂）的大小关系，从而判断出f（x）的单调性．

解答 解：设x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{a{x}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}-1}-\frac{a{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}-1}$=$\frac{a（{x}_{2}-{x}_{1}）（{x}_{1}{x}_{2}+1）}{（{{x}_{1}}^{2}-1）（{{x}_{2}}^{2}-1）}$；
∵-1＜x₁＜x₂＜1；
∴x₂-x₁＞0，-1＜x₁x₂＜1，x₁x₂+1＞0，${{x}_{1}}^{2}-1＜0，{{x}_{2}}^{2}-1＜0$；
∴$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）（{x}_{1}{x}_{2}+1）}{（{{x}_{1}}^{2}-1）（{{x}_{2}}^{2}-1）}＞0$；
∴①a＞0时，f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（-1，1）上为减函数；
②a＜0时，f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（-1，1）上为增函数．

点评 考查函数单调性的定义，以及根据单调性的定义判断一个函数的单调性的方法和过程，作差的方法比较f（x₁）与f（x₂），作差后，是分式的一般需通分，并一般需提取公因式x₁-x₂．